Bagi pembaca yang ingin belajar hiperbola, terlebih dahulu harus mengetahui tentang ellips. Karena hiperbola dan ellips ini sangat erat hubungannya, khususnya pada bentuk persamaannya. Parabola, hiperbola dan ellips, adalah hasil dari suatu pengirisan dari kerucut.
Suatu kerucut jika diiris horizontal, maka irisannya berbentuk lingkaran. Jika kerucut tersebut dipotong secara miring (dan tidak memotong alasnya), maka terbentuk suatu ellips. Jika mengirisnya memotong alasnya dan memotongnya secara vertikal, maka terbentuk suatu hiperbola. Jika mengirisnya memotong alasnya dan memotongnya tidak secara vertikal, maka terbentuk suatu parabola.
Kita mengetahui persamaan ellips itu adalah
Persamaan hiperbola hampir sama dengan persamaan ellips. Hanya saja tandanya bukan positif, tetapi negatif. Persamaan hiperbola adalah sebagai berikut :
Bagaimana gambar grafik dari suatu hiperbola?
Contohnya saja gambar grafik dari persamaan :
Apakah punya bayangan untuk menghubungkan persamaannya dengan gambar grafiknya?
Ketika y=0, maka sehingga
Kita ke perumumannya saja di sini.
Ketika y=0, maka , a inilah yang kita sebut sebagai puncak
Apa peran b?
Ketika kita menuliskan persamaan hiperbola dalam x, maka kita bisa menulsikan
Untuk nilai x yang besar, bersifat seperti x, yaitu jika maka . Sehingga y bersifat seperti
atau
Dua garis tersebut adalah asimtot dari grafik persamaan hiperbola.
Kita sudah mendapat b (perhatikan gambar), perhatikan segitiga dengan sisi a, b dan c pada gambar. Kita mendapatkan , koordinat titik fokusnya yaitu (c,0)
(ada 1 soal hiperbola vertikal, yaitu nomor 3)
SOAL :
1. Tentukan kedua titik fokus dari hiperbola :
Jawab :
jika kita melihat persamaan umumnya, maka kita peroleh a=4 dan b=3. Tentu c kita cari dengan rumus , dan kita dapatkan c=5.
Sehingga koordinat titik fokus dari hiperbola tersebut adalah
2. Tentukan garis asimtot dari hiperbola :
Jawab :
jika kita melihat persamaan umumnya, maka kita peroleh a=4 dan b=3. Kedua asimtotnya kita kenal sebagai , maka kita peroleh kedua asimtotnya adalah
3. Soal untuk hiperbola vertikal.
Tentukan kedua titik puncak, titik fokus dan garis asimtot untuk hiperbola : atau bisa juga dituliskan :
Jawab :
Ketika kita mengambil y=0, kita tidak mungkin bisa menemukan nilai x. karena bentuk adalah tidak akan terpenuhi untuk x berapapun.
Kita ambil x=0, maka kita dapatkan y=4. Inilah puncaknya. (gambar saja coret-coretan di x=4 dan x=-4 sebagai puncak, kemudian gambar hiperbola sederhana)
Perhatikan persamaan umum yang kita gunakan :
(a itu miliknya x, berada di bawah (sebagai penyebut) dari x dan b itu miliknya y, berada di bawah (sebagai penyebut) dari y)
Sehingga, untuk soal :
Kita dapatkan a=3 dan b=4
Sehingga garis asimtotnya pun adalah
Untuk mencari titik fokus, kita perlu mencari c, yaitu kita dapatkan c itu sama dengan 5. Karena hiperbola vertikal, maka koordinat titik c adalah yaitu sama dengan
Hiperbola new
Bagaimana kita menciptakan hiperbola? Ambil 2 titik tetap A dan B dan biarkan mereka menjadi 4 unit terpisah. Sekarang, mengambil setengah Dari jarak yang (yaitu 2 unit).
Sekarang, bergerak sepanjang kurva sedemikian rupa sehingga dari setiap titik pada kurva,
(Jarak ke A) - (jarak ke B) = 2 unit.
Kurva yang dihasilkan disebut hiperbola. Yang dihasilkan disebut Kurva hiperbola.
Biarkan jarak ANTARA Titik A B Kita menjadi murah 4 cm. Untuk kenyamanan dalam contoh pertama kita, mari kita menempatkan poin tetap kami A dan B pada garis bilangan pada (0, 2) dan (0, -2), sehingga mereka 4 unit terpisah. Dalam kasus ini, a = 1 cm dan 2 a = 2 cm.
Sekarang kita mulai menelusuri sebuah kurva sedemikian rupa sehingga P adalah titik pada kurva, dan:
Sekarang, bergerak sepanjang kurva sedemikian rupa sehingga dari setiap titik pada kurva,
(Jarak ke A) - (jarak ke B) = 2 unit.
Kurva yang dihasilkan disebut hiperbola. Yang dihasilkan disebut Kurva hiperbola.
Biarkan jarak ANTARA Titik A B Kita menjadi murah 4 cm. Untuk kenyamanan dalam contoh pertama kita, mari kita menempatkan poin tetap kami A dan B pada garis bilangan pada (0, 2) dan (0, -2), sehingga mereka 4 unit terpisah. Dalam kasus ini, a = 1 cm dan 2 a = 2 cm.
Sekarang kita mulai menelusuri sebuah kurva sedemikian rupa sehingga P adalah titik pada kurva, dan:
jarak PB - PA = jarak 2 cm.
Kita Mulai di (0, 1).
Tampil di bawah ini adalah salah Satu Dari P poin, sehingga PB - PA = 2.
Kita Mulai di (0, 1).
Tampil di bawah ini adalah salah Satu Dari P poin, sehingga PB - PA = 2.
Jika kita terus, kita mendapatkan kurva biru:
Sekarang, melanjutkan kurva kita di sisi kiri sumbu memberi kita hal berikut:
Kami juga memiliki bagian lain dari hiperbola pada sisi berlawanan dari sumbu x, kali ini menggunakan:
distance PA − distance PB = 2 jarak PA - PB = jarak 2
Sekali lagi titik P yang khas ditampilkan, dan kita bisa melihat dari panjang mengingat bahwa PA - PB = 2.
Kita mengamati bahwa kurva menjadi hampir lurus dekat ekstremitas. In fact, the lines Bahkan, garis dan
(Garis putus-putus merah di bawah) adalah asimtot:
[Asimtot adalah sebuah garis yang membentuk "penghalang" untuk kurva. Kurva semakin dekat dan lebih dekat dengan asimtot, tetapi tidak menyentuhnya.]
Pada Contoh 1, titik (0, 1) dan (0, -1) disebut simpul dari hiperbola, sedangkan titik (0, 2) dan (0, -2) adalah fokus (atau fokus) dari hiperbola.
Untuk hiperbola dengan jarak fokus 4 a (jarak antara 2 fokus), dan melewati sumbu y di (0, c) dan (0, - c), kita mendefinisikan
b 2 = c 2 − a 2 b 2 = c 2 - 2
Menerapkan rumus jarak untuk kasus umum, dalam cara yang sama dengan contoh di atas, kita memperoleh bentuk umum untuk utara-selatan hiperbola:
Contoh 2
Berikut contoh lain dari "utara-selatan" hiperbola.
Persamaan itu adalah:
y 2 − x 2 = 1 y 2 - x 2 = 1
Mirip dengan Contoh 1, ini hiperbola melewati 1 dan -1 pada sumbu y, tetapi memiliki persamaan yang berbeda dan bentuk yang sedikit berbeda (dan asimtot yang berbeda). Di mana fokus untuk hiperbola 2 ini? Kita harus menemukan nilai dari c.
Dengan inspeksi (dari persamaan ini hiperbola), kita dapat melihat = 1 dan b = 1 Dengan menggunakan rumus yang diberikan di atas, kita memiliki.:
b 2 = c 2 − a 2 b 2 = c 2 - 2
So Jadi
1 2 = c 2 − 1 2 1 2 = c 2-01 Februari
c 2 = 2 c 2 = 2
c = ±√2 c = ± √ 2
Jadi titik A dan B (fokus) untuk ini hiperbola yang di A (, 0 √ 2) dan B (0, - √ 2).
Untuk hiperbola dengan jarak fokus 4 a (jarak antara 2 fokus), dan melewati sumbu y di (0, c) dan (0, - c), kita mendefinisikan b 2 = c 2 − a 2 b 2 = c 2 - 2
Menerapkan rumus jarak untuk kasus umum, dalam cara yang sama dengan contoh di atas, kita memperoleh bentuk umum untuk utara-selatan hiperbola:
Timur-Barat Membuka Hiperbola
Dengan membalikkan x - dan y-variabel dalam contoh kedua kita di atas, kita memperoleh persamaan berikut.Contoh 3
x 2 − y 2 = 1 x 2 - y 2 = 1Hal ini memberi kita sebuah "Timur-Barat" membuka hiperbola, sebagai berikut. Kurva kami melewati -1 dan 1 pada sumbu x dan sekali lagi, asimtot adalah garis y = x dan y = - x.
Teknis Definisi Hiperbola
Sebuah hiperbola adalah lokus titik-titik di mana perbedaan dalam jarak ke dua fokus tetap konstan.Ini definisi teknis adalah salah satu cara untuk menggambarkan apa yang kami lakukan pada Contoh 1, di atas.
Bahkan Lebih Bentuk Persamaan dari Hiperbola
1. 1.Mungkin persamaan sederhana hiperbola diberikan dalam contoh berikut.Contoh 5 - Hiperbola sama sisi
xy = 1 xy = 1Ini dikenal sebagai hiperbola sama sisi atau persegi panjang.
Perhatikan bahwa ini hiperbola adalah "utara-timur, selatan-barat" hiperbola pembukaan. Dibandingkan dengan hiperbola lain yang telah kita lihat sejauh ini, sumbu dari hiperbola telah diputar oleh 45 °. Also, the asymptotes are the x - and y -axes. Juga, asimtot adalah x - dan y-sumbu.
Hiperbola dengan sumbu tidak sama Origin
2. 2. Hiperbola kami mungkin tidak berpusat pada (0, 0). Dalam kasus ini, kita menggunakan rumus berikut:Untuk membuka "utara-selatan" hiperbola dengan pusat (h, k), kita memiliki:
Untuk membuka "timur-barat" hiperbola dengan pusat (h, k), kita memiliki:
Contoh 6 - Hiperbola dengan Axes Bergeser
Sketsa hiperbolaA x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 (such that B 2 > 4 A C ) A x 2 + B x y + y 2 + C x D + E + F y = 0 (seperti yang B 2> 4 A C)
Dalam contoh sebelumnya pada halaman ini, tidak ada xy jangka terlibat. Seperti kita lihat dalam Contoh 4, jika kita memiliki xy panjang, ia memiliki efek rotasi sumbu. Kita tidak lagi memiliki "utara-selatan" atau "timur-barat" senjata pembukaan - mereka dapat terbuka ke segala arah.
Contoh 7 - Hiperbola dengan Bergeser dan Diputar Axes
Grafik hiperbola x 2 + 5 x y - 2 y 2 + 3 x + 2 y + 1 = 0 adalah sebagai berikut:Kita melihat bahwa sumbu dari hiperbola telah dirotasi dan telah bergeser dari (0, 0).
[Analisis lebih lanjut berada di luar lingkup bagian ini. ] ]
Latihan
Sketsa hiperbolaBerbentuk kerucut bagian: Hiperbola
Bagaimana kita bisa mendapatkan hiperbola dari mengiris sebuah kerucut?Kita mulai dengan kerucut ganda (2 kerucut lingkaran tegak ditempatkan puncak ke puncak):
Ketika kita slice 2 kerucut, kita mendapatkan hiperbola, seperti yang ditunjukkan.
Hiperbola di Alam
Lempar 2 batu di kolam. Para konsentris menghasilkan riak bertemu dalam bentuk hiperbola.
Lebih Bentuk Persamaan dari Hiperbola
Ada rumus yang berbeda untuk hiperbola.Mengingat hiperbola dengan pusat (0, 0), persamaan adalah baik:
1. 1.Untuk membuka hiperbola utara-selatan:
Lereng asimtot diberikan oleh:
2. 2. Untuk membuka hiperbola timur-barat:
Lereng asimtot diberikan oleh:
Dalam contoh yang diberikan di atas, kedua a dan b adalah sama dengan 1, sehingga lereng asimtot itu hanya ± 1 dan asimtot kami garis y = x dan y = - x.
Apa efek tidak itu memiliki jika kita mengubah a dan b?